【改變世界的數字】「零」的誕生

數學的概念深植於當今社會文化中，從計算時間、進行金錢交易，到電腦的運算和投票的制度，它無處不在。如果不使用數字，生活將會有許多的困難，我們就不會有今天的科技、政府將無法收稅、教徒不能準時祈禱、商人也做不成買賣。使用數字彷彿理所當然，於是我們少有機會反省數字本身的意義，更少有人注意到它們的來源和對人類世界的影響。

也就是說，我們活在一個由數學建構的社會中卻不自知。

事實上，「數量」的概念出現在人類社會中是很自然的，從上古時期，人類就會衡量自己一天要吃多少食物才不會餓死，經過幾次日出日落天氣會開始轉涼，要抓多少獵物才能讓自己和同伴都分到一杯羹。如果說，數字作為數學語言的基本符號，可以稱得上是其基礎的話，那欲探求數學的根本，就必須往回追溯數字的起源。我們將會發現，這一切的發生並不是那麼理所當然，而是經過了數不清的變革，才造就了今日這個方便又完整的數字系統。

在這個系統中有一個特別奇妙的數字，它的出現顛覆了人們的世界觀，改變了神學、哲學、科學、甚至藝術史，為人類文明帶來了重大的衝擊，這個震懾古今的數字就是──零。

「數」概念的出現

數的概念起源於數羊、時間的推算與財產的紀錄等需求。1930 年代晚期，考古學家卡爾‧艾伯索倫（Karl Absolom）發現了一根三萬年前的狼骨，上面一系列的刻痕顯示當時候的人已經會算數了。人們為了記下數目而發明了一些記數符號（或文字），有些文明甚至在發明書寫前就找到紀錄數字的方法，如沒有文字的印加人便用「結繩」法，在繩子上打結來記錄計算結果。

早期的人類可能還不會處理太複雜的數目（或者他們還沒有需要這麼做），但隨著時間的推移，原始語言開始出現「一」和「多」的分別。及至今日，仍有部分語言中僅用多和少來分別數量的差異。玻利維亞的西利歐那印地安人（Siriona Indians）和巴西的亞拿馬族（Yanoama）便是如此。他們的語言中只有「一、二、三」和「許多」，沒有我們習慣的數字系統，但由於數字可以相加，數字系統的未來擴大並不難想像。

進位的發明

數字增加的方法之一，就是進位。

巴西的巴凱瑞族（Bacairi）及博洛洛族（Bororo）的語言中只有一和二兩個數字，聰明的族人於是使用「一」、「二」、「二加一」、「二加二」、「二加二加一」以此類推的方式計算，即使存在的數字符號很有限，靠相加的方式也可以成為完整的計數系統。甚至到今天，這種系統在許多領域中仍然極其重要，電腦使用的計算方式就是最好的例子。

這種方式類似於我們今天所謂的「二進位」系統。然而，相對於二進位系統，五進位和十進位系統常見得多，例如那根狼骨上所使用的就是五進位，古希臘人甚至將「五」這個字當作動詞表示計算的過程。日耳曼語系的語言是使用十進位；法語則將八十寫作「四個二十」（quatre-vingt），可能是當地早期使用二十進位的痕跡。至於為什麼用五、十、二十的進制，這完全是主觀的決定，最合理的推論應該是因為人的指頭數量方便進行這種進制的計算。

數字紀錄系統的演變

有了數量的觀念，下一步就是要把口述的數目記錄下來。

這並不難，但當人們開始記錄較大的數目時，就會發現更簡易符號的必要。早在五千多年前，還沒有金字塔時，古埃及人就設計了一種抄寫十進位系統的方式，用不同的圖畫代表一、十和百，以此排列不同的組合紀錄來表現很大的數目，像是 231，此後不再需要刻下兩百三十一條線，只需要兩個「百」的符號、三個「十」的符號和一個「一」的符號，就可以表現。

到了希臘時代，希臘人延續了這種計數模式，只不過他們用的是字母而非圖形，也發明了更多的符號來表現數字，例如 200、30 和 1 都各有不同的符號表示。也就是說，希臘的系統不再需要用 6 個符號來表示 231，只需要一個 200、一個 30 和一個 1。雖然使用這種系統需要記憶更多更複雜的符號，但使用起來比埃及系統的計數方式簡易許多。沒想到承繼了希臘系統的羅馬數字，卻又走回埃及式的方法，231 計做 CCXXXI，本來三個符號的數目，又回到了6 個符號。

希臘數字在古代已經是很先進的系統了，但當時還有一種更先進也更快速的計數系統，那就是巴比倫的數字。

巴比倫的計數系統和上述其他文明都不一樣，巴比倫採用的是 60 進位。希臘系統中，每個符號表示一個數字，而巴比倫系統中的符號所表示的是一個乘積，也就是說，同一個數字可以表示 1、60、3600 等，依此類推到無窮多。那我們要如何判斷這個符號所在的位置是十位、百位還是千位呢？

零是這個問題最有效的解決方案，只要在數字後面補上零，數字就有了新的意義。在巴比倫數字之前，零的概念還沒有出現，因此巴比倫人只是先將零的位置空下來，但巴比倫的數字系統給了「零」一個出現的好機會。

「零」的首度亮相

約在西元前 300 年，巴比倫人開始使用特定的楔形文字來代表數目上的空白處，也就是我們今天會補上 0 的位置。這是西方最早期出現的零的痕跡。然而，這個相當於零的楔形文字，在當時還只是個用來確認位數的位置記號，它為左邊的數字帶來意義，但本身並不代表數值；而當它單獨存在時，所表示的是「無」。

這種空位的問題，也同樣出現在中國。《孫子算經》中說：「凡算之法，先識其位。一從十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。」 也就是說，中國人用十進位，縱橫相間擺放算籌，以分辨不同位數，空的位數則和巴比倫一樣用空格代替。看到這裡，大家可能會困惑，若是同時空兩位以上怎麼辦呢？

事實上，算籌只是計算工具，不兼具記錄功能，且它像今天的算盤一樣是有固定位置的，即便要預防萬一糊塗而擺放其他物品在其中，也未必不可行，只要計算上方便就好了。因此，中國數字的紀錄還是用文字，每個位數皆有自己專門的名字，在計算上的空位並不會造成困難。

由上可知，「算」和「寫」是兩回事，表述數字的語言和文字也是兩回事。計算所使用的工具有時會遇到空位的問題（如算籌），但也有時候不會（如算盤）。語言的位數則因為有固定的名稱，也不會遇到空位的問題，例如「兩百八十七」。先秦文獻中亦有使用「有」（通今日的「又」）表示「多」或是「加」之用法，例如「十有五」表示十五、「二百有七」表示兩百零七。

一直到設計了適合「筆算」的數字書寫系統後，「算」和「寫」才連成同一回事。但因為古代書寫系統並不方便，不是每個人都隨時有條件能書寫，因此筆算的數字系統出現得較晚。這種集算和寫之便利於一身的數字系統，對於較複雜的計算和紀錄確實大有幫助，除了讓人們使用上更方便，也使得數學可以更迅速的發展。

「零」可以說是數學史上的一大發明，它的出現為巴比倫數字系統帶來了重大的歷史意義。可惜的是，希臘人對於巴比倫這一項偉大的發明一點都不欣賞，他們認為零很危險，因此拒絕將零納入自己的數字系統中。直到零傳到了印度，零的概念才得到重視。

東方對零的態度

印度數字系統的起源已不可考，在古代的文獻中也沒有出現明顯使用零的痕跡，但可以確定的是，羅馬帝國時期，亞歷山大入侵印度時，也隨之帶來了埃及、希臘及巴比倫的數學。在西元五世紀時，印度由希臘的數字系統改變為巴比倫系統，唯一的差距是：不同於巴比倫的 60 進位制，印度採用的是 10 進位制。西元六世紀，數字「零」正式出現在印度的數字系統中。印度的哲學接受空無的概念（同樣在東方的中國亦是），印度人沒有希臘人對零的排斥和恐懼，印度人甚至讓零在數線上有了自己的位置，也就是說，零不再只是位置符號，它還有了屬於自己的數值。

除了接受當時的前衛思想「零」之外，印度人也接受負數的概念。他們不像希臘人對幾何有近乎瘋狂的著迷，反而將數字抽象化，使其不再只是幾何學的婢女。印度人甚至會玩數字遊戲，在希臘人打死無法想像從2畝地中拿掉3畝地是什麼樣怪異的概念時，東方人早已欣然接受2-3=-1。至此，我們今天所熟悉的數線已經成形。

西元七世紀，羅馬帝國崩潰，東方的伊斯蘭勢力逐漸昌盛。知識和文明的進步終究逃不過武力的征討，伊斯蘭征服了印度，大量將印度的智慧和文明翻譯為阿拉伯文，數字當然也不例外。於是，這套印度數字系統又隨著征服者和商人重新傳回到西方，逐漸演變為我們今天所謂的「阿拉伯數字」。（待續）