【改變世界的數字】在所有的領域掀起革命的「零」
作者:徐悅禾

在零出現之前,因為無法恰當的記錄位數,導致數字系統無法簡化,也沒辦法有效率地處理太大的數字,在零出現之後,雖然解決了進位的問題,卻因為它帶來太大量我們不曾想過的訊息,煽起了人們對未知的恐懼,把數學家們殺了個措手不及。到底是什麼原因讓各個民族對零都充滿複雜的情感?即便發現了其優點的人仍對它敬而遠之?這個數字如果真的這麼了不起,又為什麼那麼晚才出現呢?

如同一開始提到的,數字的出現是因應人們計量的需求,但是我們永遠都不會需要數到零個小孩,分配捕捉到的零隻獵物,或是替自己所擁有的零畝地劃條界線。零所表示的是空無,但當我們缺乏某樣東西時,人類會直接說「我沒有」,不會特意用數字表述說「我有零個」,所以「零」遲遲沒有出現。

終於,「零」出現在巴比倫的數字中,又在進到東方後成為了有自身意義的數值,但它卻始終得不到西方人的青睞。前面提過,希臘人認為零很危險,這個危險不只是在數學上的危險,更是足以摧毀西方人世界觀的終極問題。要知道零的威脅何在,我們得先回頭追溯西方哲學的根基。

零帶來的哲學與神學衝擊

西元前六世紀,在古希臘的殖民地薩摩斯島(Samos)上,誕生了一位新世紀思想家──畢達哥拉斯,他是個大學者,也是個有說服力的老師和演講者。他和大部分希臘哲學、數學家一樣,因為繼承了埃及的幾何學,認為數字圖形是神聖的,且深深著迷於圖形和數字之間的神祕關係。畢達哥拉斯學派中,最重要的信條是:萬物皆整數。即使不能用單一個整數表示的東西,也能用兩個整數表示,寫成 a:b 或是 a/b 的形式──也就是比例,翻譯成今天的數學語言就是「有理化」。

宇宙萬物皆由比例主宰,大自然中最美的比例就是黃金比例,這也成為畢達哥拉斯兄弟會堅定的信仰,畢達哥拉斯學派的宇宙觀之最。因此,當學派其中一個門生希依帕索(Hippasus of Metapontum)發現了邊長為 1 的正方形,其對角線無法以兩個整數的比例表示時,畢達哥拉斯便決定將他丟到海裡,以保衛學派辛苦建構的哲學。諷刺的是,畢達哥拉斯學派最崇信的黃金比例其實就是個無理數!總之,在連無理數都不被允許存在的世界,沒有具體形狀的零就更不可能擁有一席之地了。

《雅典學院》中的畢達哥拉斯(圖中穿紅衣圍白巾的寫書者)

後來,畢達哥拉斯的哲學成為西方哲學的中心,亞里斯多德基於畢達哥拉斯的學說建立了一個宇宙觀。他主張宇宙內被物質充滿,其最外圍是個鑲著光點的藍黑色球體,且沒有東西在它之外,宇宙在這裡乍然而止。天體環繞地球移動,每一層都受到外層的影響,而終極的推動力來源就是上帝。但亞里斯多德的理論存在一弱點,因為他沒辦法解釋乍然停止的宇宙外面是什麼,他只是避而不談。亞里斯多德還碰到了另一個問題,就是他無法同時否定零和無限。為什麼呢?

當我們追溯歷史事件時,總是可以在一個事件前找到另一個更早的事件,但若我們不承認無限,那就不會有無限多個事件,也就是說,一定有個零作為開始。反之,若不存在一個開端,那歷史就可以無限往回追溯,將來也當永遠存在。所以,在零和無限中,我們必須做選擇。

說到這,你大概已經發現了,不論選擇何者,它們都會帶出對彼此存在的證明,我們其實根本沒有選擇的餘地。我們再也不能忽視零和無限了。

零在西方的發展曲折坎坷、處處碰壁;作為回復,零也毫不留情地把每面碰到的壁都炸出一個大窟窿。接著,零隨著伊斯蘭教徒進入東方。沒想到,東方人不但不排斥它,還對它欣賞不已!

《零的故事》作者查爾斯.席夫(Charles Seife)認為,這是由於東方宗教有著神祕主義的特性。印度宗教中,空無佔有很重要的地位,濕婆(Shiva)是創造也是毀滅者,同時這位 Nishkala Shiva(意即「沒有實體」)本身便是至上的空無。印度思想中,宇宙和無限都由空無而生。人一旦脫離肉體,靈魂飛入集體的意識,無限的靈魂將會充滿宇宙,同時化為烏有。既是空無,也是無限。所以印度人接納零。

查爾斯.席夫(Charles Seife)所著之 Zero: The Biography of a Dangerous Idea

善於抽象思考的中國人也接納零,其中最具代表的就是道家哲學。老子以「無」說「道」,言「無名天地之始」、「有生於無」,但老子也虛心地認為「道可道,非常道」。雖然先秦的思想典籍中少有留下關於無的探討,但到了宋代理學興起,周敦頤的《太極圖說》便談到這方面的問題,他所提出的「無極而太極」是後來奠定宋明理學根基的重要思想。東方的思想家抱持著一種謙卑的態度,承認空無,甚至高舉空無,但同時他們也知道自己的能力不足以處理這個問題,更別說單用言語就想解釋明白了。

伊斯蘭教入侵印度時接收了當地的數學概念。不同於希臘人選擇的亞里斯多德,伊斯蘭教徒接受了創世之初是「空虛混沌」的概念,也接受了無限,猶太人也是如此。「無是存在的,無就是無……我們有限的頭腦無法理解它,因為它與無限結合。」[1]

零在科學與數學上的突破

天文學是零最早就被重用的領域,因為他們需要進行精密且大數字的計算,曆法又是在每個時代都不曾被忽略的生活必需品,所以天文學很早就被迫要處理這個問題。

在中世紀時代,唯一的知識分子是修士,他們必須計算復活節或聖誕節的日子,所以需要制定曆法,狄奧尼修斯·伊希格斯(Dionysius Exiguus)就是其中一位。

狄奧尼修斯·伊希格斯(Dionysius Exiguus)(Source: wikipedia)

他推算出耶穌是在距離當時的 525 年前降生的,於是他將耶穌降生的那一年訂為西元一年。後人發現他算錯了,耶穌應該是誕生於西元前四年。但這小錯誤並不要緊,比較嚴重的是伊希格斯不認識零,所以他的曆法上沒有零。如果西元年在數線上是以 1、2、3 年依序排列的,並先姑且以負號表示西元前的年份的話,他的數線會是:「……-3、-2、-1、1、2、3……」,所以當 1996 年大家在大肆慶祝著耶穌誕生 2000 歲時,一群熟悉天體運轉精確時間的天文學家,在山頂上冷眼看著一群不認識零的人笑著,因為只有他們知道,耶穌那年其實才 1999 歲。

望著天空的人果然比較開闊,望久了漫無邊際的宇宙,天文學家了解自己的渺小,也學會面對難以測量的遙遠。但當山頂上的人瀟灑地笑著,山下的人仍然繼續掙扎於空無和無限帶來的不確定感中。大部分的古人相信創世之初只存在空無混沌,希伯來創世論中也說萬物創造之前「地是一片空虛混沌」,可見西方人對空虛概念並不陌生。

但面對零的概念,西方人卻沒有立即接受。在一般的運算概念中,兩個數字相加或相減都會得到另一個數字,好比 3+2=5、3-2=1,但 0 卻會使數字相加不變大、相減不變小,沒有意義。這個沒有意義的數字卻會破壞乘除的運算。12=2,但任何的數字乘以零都會是零,這破壞了所有的規律。乘法和除法是相對的,我們都知道,若某數乘以一個數字再除以同一個數字,應該會復原回它自己原來的樣子,好比 7*3/3=7 (7*3=21,21/3=7)。但一旦 0 出現,一切就會變得不可理喻,數字乘除 0 後,不會還原回它原來的樣子。甚至,數學家會告訴你 0/0 根本無法計算,為什麼除以零不能成立呢?除非你覺得你能將六個玩具平均分配給零個孩子,否則除以零是無法成立的。

但零當然不只是個麻煩,它之所以會如此偉大,是因為它為我們帶來的無限可能。十七世紀末,牛頓和萊布尼茲不約而同用「無窮小」的概念發明了微積分,這個概念源自於無限和零,但他們當時還無法完全處理零除以零的問題。人們發現了純粹邏輯無法處理的困境,就開始訴諸經驗。雖然微積分中還有待解決的議題,但既然它算出來的結果總是令人滿意,那就先使用吧!再邊走邊探究就好。

這個聰明的閃躲,被後來的人稱作科學革命。科學革命讓純粹邏輯被經驗主義取代,觀察變得比哲學更重要。牛頓為了解釋宇宙定律,甚至必須忽略微積分裡不合理的「除以零」。

藝術的工具

零不只在天文、曆法與科學、哲學上有著關鍵的影響,零也成為了藝術家的工具。

十五世紀之前的繪畫主要都是平面的,因為他們還不會使用零,製造不出立體的空間感。到了文藝復興,義大利建築師 Filippo Brunelleschi 首先發現零的功用,他使用「隱沒點」創造出了逼真的繪畫,也就是所謂的「單點透視法」。隱沒點代表著距離觀看者無窮遠的那個點,一切物品越靠近它就越小,直到消失。這是第一次,平面的構圖中能夠如此清楚明白的表達出三維的空間,這項發明開啟了日後各樣表現立體的繪畫方式,零維的隱沒點造就了二維繪畫中的無限空間。

Pietro Perugino – Entrega de las llaves a San Pedro (Capilla Sixtina, Roma, 1481-82)

人類文明的標誌

英國數學家阿爾弗雷德·諾斯·懷海德(Alfred North Whitehead)曾說:

零可以說是所有的整數中最文明的一個,只有當我們深入思考時才需要使用它。

零是很多問題的來源,也是很多問題的解答。它充斥在宇宙中,圍繞著我們的生活,因為太偉大了,所以我們終究是逃不出它的魔掌。它帶給我們極大的方便,給了我們欣賞世界的工具,逼迫我們去思考,也帶來很多戰爭和困擾。

零在所有的領域掀起革命,從人們最深處的信仰開始翻攪,一次又一次的帶來知識,再一次又一次的推翻好不容易建立起來的世界觀。多少年來,人類為了它而笑,也為了它而哭。它打破了教會所依靠的亞里斯多德哲學,帶領人們走向科學革命;它讓我們能夠在準確的時間慶祝聖誕節;它為藝術界帶來新的可能;它打破人類無數的「成見」,教我們要謙卑,也要有信心。

今天的科學家幾乎一致的認為:宇宙生於無,且很可能也將回歸於無。「零」這個奇妙的數字,看上去一片空虛,卻代表了人類數千年來努力建構出的知識,同時也代表著我們對這世界的無知。

延伸閱讀:曾經數學被當的學生,是怎麼成為工程學教授的?──《大腦喜歡這樣學》
首圖來源:Tom Brown, via Flickr

參考資料

  1. 查爾斯.席夫(Charles Seife),吳蔓玲譯,《零的故事》,臺北:周商出版,2001。
  2. 羅伯.卡普蘭(Robert Kaplan),陳雅雲譯,《從零開始──追蹤零的符號與意義》,臺北:究竟出版社,2002。
  3. 邢豔,《有關數學的100個觀念》,臺北:驛站文化事業有限公司,2011。
  4. Marcus du Sautoy, (2008). The Story of math (A documentary series). BBC and Open University.
  5. 中國古代是怎麼算數的,歌德學院(中國),(鄒大海),(發布時間:2015年8月),(查詢時間:2019年12月),https://www.goethe.de/ins/cn/cn/kul/mag/20629923.html

[1] 查爾斯.席夫(Charles Seife),《零的故事──動搖哲學、科學、數學及宗教的概念》,

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